Question

已知函數f(x)=

2x

x+2

，數列{an}滿足：a1=

4

3

，an+1=f(an).
（1）求證數列{

1

an

}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，求證：Sn＜

8

3

.

Answer 1

分析：（1）根據a_n+1=f（a_n）．整理得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

.進而可推斷{

1

an

]成等差數列．最后根等差數列的通項公式求得數列{a_n}的通項公式．
（2）首先對數列a_na_n+1的通項公式進行裂項，進而疊加求得S_n=8(

1

3

-

1

2n+3

)．根據

1

3

-

1

2n+3

＜ 

1

3

進而可推斷S_n＜

8

3

解答：解：（1）∵an+1=f(an)=

2an

an+2

，
∴

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

.
∴{

1

an

]成等差數列．
∴

1

an

=

1

a1

+(n+1)×

1

2

=

3

4

+(n-1)×

1

2

=

2n+1

4

.即an=

4

2n+1

.
（2）∵anan+1=

4

2n+1

•

4

2n+3

=8(

1

2n+1

-

1

2n+3

)，
∴S_n=a₁a₂+a₂a₃++a_na_n-1=8(

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

++

1

2n+1

-

1

2n+3

)=8(

1

3

-

1

2n+3

)＜

8

3

.

點評：本題主要考查了數列的遞推式，對于分母是數列相鄰兩項構成的數列，常可用裂項法求和．