Question

【題目】已知函數(shù)，其中常數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性

（2）當(dāng)時(shí)，是否存在整數(shù)使得關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)有解？若存在，求出整數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考數(shù)據(jù)：，，，

Answer 1

【答案】(1) f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓(2) 1

【解析】

分析：(1)求導(dǎo) ，設(shè)，討論其值域，可得的單調(diào)性；

(2)當(dāng) 時(shí),設(shè)， ， 在 ,且

可知在(0,)內(nèi),唯一x0∈(,),使得lnx0=x02

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(x)min =e3(xx0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)

由此可求m的最小整數(shù)值.

詳解：

解：(1) 求導(dǎo)，設(shè) 明顯g(x)在(0,+∞)↓,且g(1)=0

故f(x)在(0,1)↑,(1,+∞)↓

當(dāng) 時(shí),設(shè)， ， 在 ,且

注意F′()=3<0,F′()=e3(1ln2e2)≈0.1e3>0

故在(0,)內(nèi),唯一x0∈(,),使得lnx0=x02

并且F(x)在(0,x0)↓,(x0,e)↑,(e,+∞)↓

當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(x)min =F(x0)=e3(x0lnx0x+x0)=e3(xx0)

因∈(0,e),使2m≥F(x)成立,故需2m≥F(x)min=e3(xx0)

當(dāng)x0∈(,)時(shí),F(x)min=e3(xx0)∈(,e)≈(3.32,2.51)

因2m為偶數(shù),故需2m≥2m≥1,即m的最小整數(shù)值為1