11.利用單調(diào)性定義判斷函數(shù)f(x)=$\frac{x-2}{x-1}$(x∈[2,6])是增函數(shù)還是減函數(shù),并求出最值.

分析 函數(shù)f(x)=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$(x∈[2,6])是增函數(shù),利用定義法能進(jìn)行證明,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性能求出最值.

解答 解:函數(shù)f(x)=$\frac{x-2}{x-1}$=1-$\frac{1}{x-1}$(x∈[2,6])是增函數(shù).
證明如下:
在[2,6]內(nèi)任取x1,x2,令x1<x2,
f(x1)-f(x2)=(1-$\frac{1}{{x}_{1}-1}$)-(1-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$)=$\frac{1}{{x}_{2}-1}-\frac{1}{{x}_{1}-1}$,
∵x1,x2∈[2,6],x1<x2,
∴f(x1)-f(x2)=$\frac{1}{{x}_{2}-1}-\frac{1}{{x}_{1}-1}$<0,即f(x1)<f(x2),
∴函數(shù)f(x)=$\frac{x-2}{x-1}$(x∈[2,6])是增函數(shù).
∴f(x)min=f(2)=0,$f(x)_{max}=f(6)=\frac{6-2}{6-1}$=$\frac{4}{5}$.
∴f(x)在[2,6]上的最小值為0,最大值為$\frac{4}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,考查最值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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6.設(shè)向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow$的夾角為θ,則“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$<0”是“θ為鈍角”的( 。
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(1)求f(x)在區(qū)間[-$\frac{π}{8}$,$\frac{π}{4}}$]上的減區(qū)間;
(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,若關(guān)于x的方程g(x)+k=0在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}}$]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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