Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2sinxcosx+1．
（1）求f（x）的周期、最值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡函數(shù)解析式為，利周期公式求出f（x）的最小正周期和最值．
（2）根三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)即可得到f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+2sinxcosx+1=（2cos²x-1）+2sinxcosx+2=cos2x+sin2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
則f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
當(dāng)sin（2x+

π

4

）=1時，函數(shù)f（x）取得最大值

2

+2．
當(dāng)sin（2x+

π

4

）=-1時，函數(shù)f（x）取得最小值2-

2

．
（2）由-

π

2

+2kπ≤x≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
解得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性及其求法，化簡函數(shù)解析式為，是解題的關(guān)鍵．