Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD
=90°，PA=AD=AB=

1

2

CD=1，M為PB的中點．
（1）試在CD上確定一點N，使得MN∥平面PAD．
（2）點N在滿足（1）的條件下，求直線MN與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）想著先找一個MN所在的平面，使這個平面平行于平面PAD，取AB中點E，連接ME，則ME∥PA，所以ME∥平面PAD；過E作EN∥AD，則EN∥平面PAD，所以平面MNE∥平面PAD，又MN?平面MNE，所以MN∥平面PAD，這樣便在CD上找到了N點．
（2）容易說明EN⊥平面PAB，所以∠NME便是直線MN與平面PAB所成角，在Rt△NME中，能夠求出sin∠NME．

解答： 解：（1）取AB中點E，連接ME，則ME∥PA，PA?平面PAD；
∴ME∥平面PAD；
過E作EN∥AD交CD于N，AD?平面PAD；
∴EN∥平面PAD，又ME∩NE=E；
∴平面MNE∥平面PAD，MN?平面MNE；
∴MN∥平面PAD．
這樣在CD上就找到了N，使DN=

1

2

．
（2）∵∠BAD=90°；
∴AD⊥AB；
又EN∥AD；
∴EN⊥AB；
又PA⊥底面ABCD，EN?平面ABCD；
∴PA⊥EN，即EN⊥PA，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A；
∴EN⊥平面PAB；
∴∠NME是直線MN與平面PAB所成角；
∴在Rt△NME中，∠MEN=90°，ME=

1

2

，EN=1；
∴MN=

5

2

，sin∠NME=

EN

MN

=

2 5

5

．

點評：考查了面面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，線面平行的定義，線面角的定義，在AB上取中點E是求解本題的關(guān)鍵．