Question

在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，給出下列結(jié)論：
①由已知條件，這個三角形被唯一確定；
②△ABC一定是鈍角三角形；
③sinA：sinB：sinC=7：5：3；
④若b+c=8，則△ABC的面積是

15 3

2

．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．

Answer 1

分析：由已知可設(shè)b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），然后分別求出a、b、c的值，即可求出它們的比值，結(jié)合正弦定理即可求出sinA：sinB：sinC，利用余弦定理求出角A的余弦值即可判定A為鈍角，根據(jù)面積公式即可求出三角形ABC的面積，再與題目進(jìn)行比較即可．

解答：解：由已知可設(shè)b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
則a=

7

2

k，b=

5

2

k，c=

3

2

k，
∴a：b：c=7：5：3，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正確；
同時由于△ABC邊長不確定，故①錯；
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

25 4 k2+ 9 4 k2- 49 4 k2

2× 5 2 × 3 2 k2

=-

1

2

＜0，
∴△ABC為鈍角三角形，∴②正確；
若b+c=8，則k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

4

3

，故④錯．
故答案：②③

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理以及余弦定理的運(yùn)用，利用三角形的面積公式求解面積，屬于基礎(chǔ)題．