Question

如圖，已知F₁、F₂分別為橢圓左、右焦點(diǎn)，等腰直角三角形AF₁F₂兩腰的中點(diǎn)M、N在橢圓上，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)已知條件得|AF1|=

2

c，連接MF₂，容易求出|MF2|=

10

2

c，根據(jù)橢圓的定義便有

2

2

c+

10

2

c=2a，這樣便可求出離心率

c

a

了．

解答： 解：∵△AF₁F₂為等腰直角三角形，|F₁F₂|=2c；
∴|AF1|=

2

c，連接MF₂，M是AF₁的中點(diǎn)，∴|AM|=

2 c

2

；
∴在Rt△AMF₂中，|MF2|=

( 2 c)2+( 2 2 c)2

=

10

2

c；
∴|MF1|+|MF2|=

2

2

c+

10

2

c=2a；
∴

c

a

=

10 - 2

2

，即橢圓的離心率為

10 - 2

2

．
故答案為：

10 - 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查直角三角形邊的關(guān)系，橢圓的焦點(diǎn)，以及橢圓的定義，離心率公式e=

c

a

．