Question

設(shè)直線l的方程為（a+1）x+y-2-a=0（x∈R）．
（1）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）若a＞-1，直線l與x軸、y軸分別交于M、N兩點(diǎn)，求△OMN的面積取得最小值時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，由這兩個(gè)截距相等解出a值，從而得到直線l的方程．
（2）求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡△OMN的面積表達(dá)式，使用基本不等式求出面積的最小值，并且求出面積最小時(shí)
的a值，從而得到直線l的方程．
解答：解：（1）直線l（a+1）x+y-2-a=0（x∈R）在橫軸上的截距為 ，在縱軸上的截距為 a+2，
∵直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，∴=a+2，∴a=-2 或 a=0．
當(dāng)a=-2時(shí)，直線l的方程為 x-y=0，當(dāng)a=0 時(shí)，直線l的方程為 x+y-2=0．
（2）由題意知 M（，0），N（0，a+2），
△OMN的面積為 ××（a+2）=×（1+）×[（a+1）+1]=×[（a+1）+1+1+]
=1+[（a+1）+]≥1+1=2 （當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，等號(hào)成立），
∴△OMN的面積取得最小值時(shí)，直線l的方程為 x+y-2=0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求直線方程的方法，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的定義以及基本不等式的應(yīng)用（注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件）．