在△ABC中，若AB=2， AC=
2
BC，則△ABC面積的最大值為
2
2
2
2
．
分析：設(shè)BC=a，則AC=
2
a，利用余弦定理可求得cos2B=
1
a2
+
a2
16
-
1
2
，再利用三角形的面積公式可求得S△ABC=asinB，繼而可求S△ABC2=-
1
16
（a2-12）2+8，從而可得△ABC面積的最大值．
解答：解：依題意，設(shè)BC=a，則AC=
2
a，又AB=2，
由余弦定理得：(
2
a)2=a2+AB2-2a•ABcosB，
即a2+4acosB-4=0，
∴cosB=
4-a2
4a
=
1
a
-
a
4
，
∴cos2B=
1
a2
+
a2
16
-
1
2
，
∴sin2B=1-cos2B=
3
2
-
a2
16
-
1
a2
．
∵S△ABC=
1
2
AB•BCsinB=
1
2
×2asinB=asinB，
∴S△ABC2=a2sin2B=a2（
3
2
-
a2
16
-
1
a2
）=-
a4
16
+
3
2
a2-1=-
1
16
（a4-24a2）-1=-
1
16
（a2-12）2+8，
當(dāng)a2=12，即a=2
3
時，2、2
3
、2
6
能組成三角形，
∴S△ABC2max=8，
∴S△ABCmax=2
2
．
故答案為：2
2
．
點評：本題考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想與二次函數(shù)的配方法，求得S△ABC2=-
1
16
（a2-12）2+8是關(guān)鍵，也是難點，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在△ABC中，若
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，則△ABC的形狀是（　　）
A、直角三角形
B、正三角形
C、等腰三角形
D、等腰直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，若
AB
•
AC
=
AB
•
CB
=4，則邊AB的長等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S為線段BC的四等分點，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列五個結(jié)論：
①?x∈R，2x＞x2
②“若x2＜1，則-1＜x＜1”的逆否命題是“若-1＜x＜1，則x2≥1”；
③要得到y(tǒng)=cos2x的圖象，只需要將y=sin（2x+
π
4
）的圖象向左平移
π
8
個單位；
④在△ABC中，若
AB
•
CA
＞0，則∠A為銳角；
⑤函數(shù)f（x）=sin（2x+
π
3
）在[0，
π
12
]上是增函數(shù)，在[
π
12
，
π
2
]上是減函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號是
③⑤
③⑤
．（填寫你認(rèn)為正確的所有結(jié)論序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列命題：
（1）設(shè)
a
、
b
都是非零向量，則“
a
•
b
=±|
a
|•|
b
|”是“
a
、
b
共線”的充要條件
（2）將函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）的圖象向右平移
π
3
個單位，得到函數(shù)y=sin2x的圖象；
（3）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠ABC=
π
3
，則△ABC必為銳角三角形；
（4）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點；
其中正確命題的序號是
（1）（3）
（1）（3）
（寫出所有正確命題的序號）．

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同步練習(xí)冊答案