Question

8．六安市用“10.0分制”調(diào)查市民的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名市民，記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）

（1）若幸福度不低于9，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機選取3人，至少有1人是“極幸福”的概率；
（2）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸�！钡娜藬�(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）至少有1人是“極幸�！庇洖槭录嗀，由此利用對立事件概率計算公式能求出從這16人中隨機選取3人，至少有1人是“極幸�！钡母怕剩�
（2）ξ的可能取值為0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）至少有1人是“極幸福”記為事件A，
則$P（A）=1-\frac{{C_{12}^3}}{{C_{16}^3}}=\frac{17}{28}$．
（2）ξ的可能取值為0、1、2、3，
P（ξ=0）=（$\frac{3}{4}$）³=$\frac{27}{64}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{4}•（\frac{3}{4}）^{2}=\frac{27}{64}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{4}）^{2}•\frac{3}{4}$=$\frac{9}{64}$，
P（ξ=3）=（$\frac{1}{4}$）³=$\frac{1}{64}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

Eξ=3×$\frac{1}{4}$=0.75．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．