Question

4．《張邱建算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)史上的杰作，該書中有首古民謠記載了一數(shù)列問題：“南山一棵竹，竹尾風(fēng)割斷，剩下三十節(jié)，一節(jié)一個圈．頭節(jié)高五寸^①，頭圈一尺三^②．逐節(jié)多三分^③，逐圈少分三^④．一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是多遠(yuǎn)？”（注釋：①第一節(jié)的高度為0.5尺；②第一圈的周長為1.3尺；③每節(jié)比其下面的一節(jié)多0.03尺；④每圈周長比其下面的一圈少0.013尺） 問：此民謠提出的問題的答案是（　�。�

• A． 72.705尺
• B． 61.395尺
• C． 61.905尺
• D． 73.995尺

Answer 1

分析 設(shè)從地面往長，每節(jié)竹長為a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，則{a_n}是以a₁=0.5為首項，以d′=0.03為公差的等差數(shù)列，設(shè)從地面往上，每節(jié)節(jié)圈長為b₁，b₂，b₃，…，b₃₀，則{b_n}是以b₁=1.3為首項，d=-0.013為公差的等差數(shù)列，由此能求出一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂?shù)男谐蹋?/p>

解答 解：∵每竹節(jié)間的長相差0.03尺，
設(shè)從地面往長，每節(jié)竹長為a₁，a₂，a₃，…，a₃₀，
∴{a_n}是以a₁=0.5為首項，以d′=0.03為公差的等差數(shù)列，
由題意知竹節(jié)圈長，后一圏比前一圏細(xì)1分3厘，即0.013尺，
設(shè)從地面往上，每節(jié)節(jié)圈長為b₁，b₂，b₃，…，b₃₀，
由{b_n}是以b₁=1.3為首項，d=-0.013為公差的等差數(shù)列，
∴一蟻往上爬，遇圈則繞圈．爬到竹子頂，行程是：
S₃₀=（30×0.5+$\frac{30×29}{2}$×0.03）+[30×1.3+$\frac{30×29}{2}$×（-0013）]=61.395．
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列通項公式求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．