Question

19．已知P（x，y）為不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{x-y≤0}\\{x-m≥0}\end{array}}\right.$表示的平面區(qū)域M內(nèi)任意一點，若目標(biāo)函數(shù)z=5x+3y的最大值等于平面區(qū)域M的面積，則m=-2．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=5x+3y得y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{Z}{3}$，
平移直線y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{Z}{3}$，
由圖象知當(dāng)直線y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{Z}{3}$，經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解得x=y=2，即A（2，2），
此時z=5×2+3×2=16，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x=a}\end{array}\right.$．解得x=a，y=4-a，即B（a，4-a），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x=a}\end{array}\right.$，解得x=y=a，即C（a，a），
∴BC=4-a-a=4-2a，△ABC的高為2-a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×（2-a）（4-2a）=（2-a）²=16，
解得a=-2，a=6（舍去），
故答案為：-2．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．考查學(xué)生的運算和推理能力．