Question

5．如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=2，CC₁=1，求$\overrightarrow{C{A}_{1}}$與$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夾角的余弦值．

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過C作CB的垂線為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此利用向量法能求出$\overrightarrow{C{A}_{1}}$與$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夾角的余弦值．

解答 解：以C為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過C作CB的垂線為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，CC₁=1，
∴C（0，0，0），A₁（$\sqrt{3}$，1，1），B（0，2，0），C₁（0，0，1），
$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，1$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，1），
設(shè)$\overrightarrow{C{A}_{1}}$與$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夾角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{C{A}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-2+1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{5}$．
∴$\overrightarrow{C{A}_{1}}$與$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的夾角的余弦值為$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．