【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.

【答案】(1)an=3n-1(n∈N*),bn=2n+1(n∈N*).

(2)Tn=n·3n.

【解析】試題分析:(1)先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得項(xiàng)的遞推關(guān)系式:an+1=3an,再根據(jù)等比數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;利用待定系數(shù)法求等差數(shù)列{bn}中首項(xiàng)與公差,再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得{bn}的通項(xiàng)公式;(2)利用錯位相減法求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn. 利用錯位相減法求和時(shí),注意相減時(shí)項(xiàng)的符號變化,中間部分利用等比數(shù)列求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù),最后要除以

試題解析:解 (1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),

∴an=2Sn-1+1(n∈N*,n>1),

∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),

即an+1-an=2an,∴an+1=3an(n∈N*,n>1).

而a2=2a1+1=3,∴a2=3a1.

∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,

∴an=3n-1(n∈N*).

∴a1=1,a2=3,a3=9,

在等差數(shù)列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.

又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數(shù)列,設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,則有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2.

∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,

∵bn>0(n∈N*),∴舍去d=-10,取d=2,

∴b1=3,∴bn=2n+1(n∈N*).

(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)·3n-2+(2n+1)3n-1,①

∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②

∴①-②得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2×-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n

=-2n·3n.∴Tn=n·3n.

練習(xí)冊系列答案
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分組(重量)

[80,85)

[85,90)

[90,95)

[95,100)

頻數(shù)(個(gè))

5

10

20

15


(1)根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算蘋果的重量在[90,95)的頻率;
(2)用分層抽樣的方法從重量在[80,85)和[95,100)的蘋果中共抽取4個(gè),其中重量在[80,85)的有幾個(gè)?
(3)在(2)中抽出的4個(gè)蘋果中,任取2個(gè),求重量在[80,85)和[95,100)中各有1個(gè)的概率.

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A. B. C. D.

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75 84 65 90 88 95 78 85 98 82

()以成績的十位為莖個(gè)位為葉作出本次結(jié)業(yè)成績的莖葉圖,并計(jì)算平均成績與成績中位數(shù) ;

()從本次結(jié)業(yè)成績在80分以上的人員中選3人,這3人中成績在90分(含90分)以上的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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B.f(x)是關(guān)于x的減函數(shù)
C.f(x)關(guān)于x先遞增后遞減
D.關(guān)于x先遞減后遞增

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