【題目】過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線, 切點(diǎn)分別為, .

(1) 證明: 為定值;

(2) 記△的外接圓的圓心為點(diǎn), 點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn), 對(duì)任意實(shí)數(shù), 試判斷以為直徑的圓是否恒過(guò)點(diǎn)? 并說(shuō)明理由.

【答案】(I)詳見(jiàn)解析;(II)詳見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)對(duì) 求導(dǎo),得到直線的斜率為 ,進(jìn)一步得到直線的方程為. 將點(diǎn)點(diǎn)代入直線方程,整理得.

同理, . , 所以為定值.

()由題意可得)直線的垂直平分線方程為.

同理直線的垂直平分線方程為.

①②解得點(diǎn). 拋物線的焦點(diǎn)為 , 可得 所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)

試題解析:

() 法1:,,所以. 所以直線的斜率為.

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線, 所以,.

所以直線的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在直線,

所以,.

同理, .

所以是方程的兩個(gè)根.

所以.

,

所以為定值.

法2:設(shè)過(guò)點(diǎn)且與拋物線相切的切線方程為,

消去,

, 化簡(jiǎn)得.

所以.

,,所以.

所以直線的斜率為,直線的斜率為.

所以, 即.

,

所以為定值.

() 法1:直線的垂直平分線方程為,

由于,,

所以直線的垂直平分線方程為.

同理直線的垂直平分線方程為.

①②解得, ,

所以點(diǎn).

拋物線的焦點(diǎn)為

由于,

所以

所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)

另法: 為直徑的圓的方程

把點(diǎn)代入上方程,知點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解.

所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)

法2:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

則△的外接圓方程為,

由于點(diǎn)在該圓上,

.

兩式相減得, ①

由(Ⅰ)知,代入上式得

,

當(dāng)時(shí), 得, ②

假設(shè)為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn),則,

, ③

由②③解得,

所以點(diǎn).

當(dāng)時(shí), 則,點(diǎn).

所以以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) (a>0且a≠1)是定義在R上的奇函數(shù). (Ⅰ) 求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ) 證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù);
(Ⅲ)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),mf(x)≤2x﹣2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸.

1)求線段的長(zhǎng);

2)設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線于點(diǎn),交于點(diǎn),若直線的斜率依次成等差數(shù)列,試問(wèn): 是否過(guò)定點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)討論函數(shù)的單凋性;

(2)若存在使得對(duì)任意的不等式(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】節(jié)日前夕,小李在家門前的樹(shù)上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時(shí)通電后,它們第一次閃亮的時(shí)候相差不超過(guò)2秒的概率是(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差數(shù)列{bn}中,bn>0(n∈N*),且b1+b2+b3=15,又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Tn.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】數(shù)列{an}滿足an+1+﹣1nan=2n﹣1,則{an}的前60項(xiàng)和為( )

A. 3690 B. 3660 C. 1845 D. 1830

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù) 的定義域是(
A.{x|x<﹣4或x>3}
B.{x|﹣4<x<3}
C.{x|x≤﹣4或x≥3}
D.{x|﹣4≤x≤3}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離的比是,記點(diǎn)的軌跡為.

(1)求曲線的方程;

(2)對(duì)于定點(diǎn),作過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn),,求的內(nèi)切圓半徑的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案