Question

2．已知a，b∈R，a≠0，函數f（x）=-$\sqrt{2}$（sinx+cosx）+b，g（x）=asinx•cosx+$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{a}$+2．
（1）若x∈（0，π），f（x）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+b，求sinx-cosx的值；
（2）若不等式f（x）≤g（x）對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）推導出sinx+cosx=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，從而2sinxcosx=-$\frac{3}{5}$，進而sin²x+cos²x-2sinxcosx=（sinx-cosx）²=$\frac{8}{5}$，由此能求出sinx-cosx．
（2）推導出b≤[asinxcosx+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）+$\frac{a}{2}+\frac{1}{a}+2$]_min，再求出函數y=asinx•cosx+$\sqrt{2}（sinx+cosx）+\frac{a}{2}+\frac{1}{a}+2$的最小值，令t=sinx+cosx，令m（t）=y=$\frac{a}{2}（t+\frac{\sqrt{2}}{a}）^{2}+2$，（a≠0），由此進行分類討論經，能求出b的取值范圍．

解答 解：（1）依題意得sinx+cosx=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴sin²x+cos²x+2sinxcosx=$\frac{2}{5}$，即2sinxcosx=-$\frac{3}{5}$，…（1分）
∴1-2sinxcosx=$\frac{8}{5}$，
即sin²x+cos²x-2sinxcosx=（sinx-cosx）²=$\frac{8}{5}$，…（2分）
由2sinxcosx=-$\frac{3}{5}$＜0，x∈（0，π），得x∈（$\frac{π}{2}$，π），…（3分）
∴sinx＞0，cosx＜0，∴sinx-cosx＞0，
∴sinx-cosx=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．…（4分）
（2）不等式f（x）≤g（x）對任意x∈R恒成立，
即不等式b≤asinx•cosx+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）+$\frac{a}{2}+\frac{1}{a}$+2對任意x∈R恒成立，
即b≤[asinxcosx+$\sqrt{2}$（sinx+cosx）+$\frac{a}{2}+\frac{1}{a}+2$]_min，…（5分）
下求函數y=asinx•cosx+$\sqrt{2}（sinx+cosx）+\frac{a}{2}+\frac{1}{a}+2$的最小值，
令t=sinx+cosx，
則t=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）∈[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$，且sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，…（6分）
令m（t）=y=asinxcosx+$\sqrt{2}（sinx+cosx）+\frac{a}{2}+\frac{1}{a}+2$，
=$\frac{a（{t}^{2}-1）}{2}+\sqrt{2}t+\frac{a}{2}+\frac{1}{a}+2$=$\frac{a}{2}{t}^{2}+\sqrt{2}t+\frac{1}{a}+2$，
=$\frac{a}{2}（{t}^{2}+\frac{2\sqrt{2}}{a}t）+\frac{1}{a}+2$=$\frac{a}{2}（t+\frac{\sqrt{2}}{a}）^{2}+2$，（a≠0），…（7分）
1°當-$\frac{\sqrt{2}}{a}＜-\sqrt{2}$，即0＜a＜1時，m（t）在區(qū)間[-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$]上單調遞增，
∴m（t）_min=m（-$\sqrt{2}$）=a+$\frac{1}{a}$．…（8分）
2°當-$\sqrt{2}≤-\frac{\sqrt{2}}{a}$＜0，即a≥1時，m（t）_min=m（-$\frac{\sqrt{2}}{a}$）=2．…（9分）
3°當0＜-$\frac{\sqrt{2}}{a}$$≤\sqrt{2}$，即a≤-1時，m（t）_min=m（-$\sqrt{2}$）=a+$\frac{1}{a}$．…（10分）
4°當-$\frac{\sqrt{2}}{a}＞\sqrt{2}$，即-1＜a＜0時，m（t）_min=m（-$\sqrt{2}$）=a+$\frac{1}{a}$．…（11分）
∴y_min=$\left\{\begin{array}{l}{2，a≥1}\\{a+\frac{1}{a}，a＜1，a≠0}\end{array}\right.$，
所以當a≥1時，b≤2；當a＜0或0＜a＜1時，b≤$a+\frac{1}{a}$．…（12分）

點評 本題考查三角函數求值，考查實數值的范圍的求法，考查三角函數恒等式、構造法、配方法、換元法等基礎知識，考查推理論能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．