Question

7．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q分別是線段CC₁，BD上的點，R是直線AD上的點，滿足PQ∥平面ABC₁D₁，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方體的頂點，則|PR|的最小值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{42}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{30}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 分別以AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系利用向量法能求出|PR|的最小值．

解答 解：如圖，分別以AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則B（1，0，0），D（0，1，0），B₁（1，0，1），C（1，1，0），
設P（1，1，m），（0≤m≤1），$\frac{\overrightarrow{BQ}}{\overrightarrow{BD}}$=λ（0≤λ≤1），Q（x₀，y₀，0），
則（x₀-1，y₀，0）=λ（-1，1，0），∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=1-λ}\\{{y}_{0}=λ}\end{array}\right.$，∴Q（1-λ，λ，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（-λ，λ-1，-m），
連結B₁C，∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BCC₁B₁是正方形，AB⊥平面BCC₁B₁，
∴B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，
又AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∵PQ∥平面ABC₁D₁，∴B₁C⊥PQ，
又$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，1，-1），∴$\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{PQ}$=λ-1+m=0，∴λ=1-m，
∴Q（m，1-m，0），$\overrightarrow{PQ}$=（m-1，-m，-m），
設R（0，n，0），則$\overrightarrow{RQ}$=（m，1-m-n，0），
∵PQ⊥RQ，∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{RQ}$=m（m-1）-m（1-m-n）=0，即n=2-2m，
∴R（0，2-2m，0），$\overrightarrow{PR}$=（-1，1-2m，-m），
|$\overrightarrow{PR}$|=$\sqrt{1+（1-2m）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{5{{m}^{2}-4m+2}_{\;}}$=$\sqrt{5（m-\frac{2}{5}）^{2}+\frac{6}{5}}$，
∴當m=$\frac{2}{5}$時，|PR|的最小值是$\frac{\sqrt{30}}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查線段長的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．