Question

16．張三同學從7歲起到13歲每年生日時對自己的身高測量后記錄如表：

年齡 （歲）	7	8	9	10	11	12	13
身高 （cm）	121	128	135	141	148	154	160

（Ⅰ）求身高y關(guān)于年齡x的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的線性回歸方程，分析張三同學7歲至13歲身高的變化情況，如17歲之前都符合這一變化，請預測張三同學15歲時的身高．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）（{y}_{1}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}}$，$\overline{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)表格與公式求得相關(guān)數(shù)據(jù)，然后代入線性回歸方程求得$\widehat{a}$，由此求得線性回歸方程；
（Ⅱ）將先15代入（Ⅰ）中的回歸方程即可求得張三同學15歲時的身高．

解答 解：（Ⅰ）由題意得$\overline{x}$=$\frac{1}{7}$（7+8+9+10+11+12+13）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（121+128+135+141+148+154+160）=141，
$\sum_{i=1}^{7}$（${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=9+4+1+0+1+4+9=28，
$\sum_{i=1}^{7}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×（-20）+（-2）×（-13）+（-1）×（-6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182，
所以$\widehat$=$\frac{182}{28}$=$\frac{13}{2}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=141-$\frac{13}{2}$×10=76，
所求回歸方程為$\widehat{y}$=$\frac{13}{2}$x+76．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$\widehat$=$\frac{13}{2}$＞0，
故張三同學7歲至13歲的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．
將x=15代入（Ⅰ）中的回歸方程，得$\widehat{y}$=$\frac{13}{2}$×15+76=173.5，
故預測張三同學15歲的身高為173.5cm．

點評 本題考查了求線性回歸方程問題，考查計算能力，是一道中檔題．