Question

【題目】函數(shù)f（x）=2ax2﹣2bx﹣a+b（a，b∈R，a＞0），g（x）=2ax﹣2b
（1）若時，求f（sinθ）的最大值；
（2）設(shè)a＞0時，若對任意θ∈R，都有|f（sinθ）|≤1恒成立，且g（sinθ）的最大值為2，求f（x）的表達式．

Answer 1

【答案】解：（1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，
∵a＞0，拋物線開口向上，二次函數(shù)的對稱軸t=，
由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，則|f（t）|≤1可推得|f（0）|≤1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，
∵a＞0，∴g（sinθ）max=g（1）=2，而g（1）=2a﹣2b=2
而f（0）=b﹣a=﹣1而t∈[﹣1，1]時，|f（t）|≤1，即﹣1≤f（t）≤1，
結(jié)合f（0）=﹣1可知二次函數(shù)的頂點坐標為（0，﹣1）
∴b=0，a=1，∴f（x）=2x2﹣1．
【解析】（1）令sinθ=t∈[0，1]，問題等價于求f（t）=2at2﹣2bt﹣a+b在t∈[0，1]的最大值，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）令sinθ=t∈[﹣1，1]，由恒成立和最大值可得可得二次函數(shù)的頂點坐標為（0，﹣1），進而可得ab的值，可得解析式．