Question

已知函數(shù)(其中)，為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

（1）求證：曲線y=在點(diǎn)(1，)處的切線不過點(diǎn)(2，0)；

（2）若在區(qū)間中存在，使得，求的取值范圍；

（3）若，試證明：對(duì)任意，恒成立.

 

Answer 1

（1）參考解析；（2）； （3）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由函數(shù)(其中)，求出，由于求y=在點(diǎn)(1，)處的切線方程，由點(diǎn)斜式可得結(jié)論.

（2）由，再利用分離變量即可得到.在再研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

（3）由可得.需證任意，恒成立，等價(jià)證明.然后研究函數(shù)，通過求導(dǎo)求出函數(shù)的最大值.研究函數(shù)，通過求導(dǎo)得出函數(shù)的.再根據(jù)不等式的傳遞性可得結(jié)論.

（1）由得，，

所以曲線y=在點(diǎn)(1，)處的切線斜率為，

，曲線y=切線方程為，

假設(shè)切線過點(diǎn)(2，0)，代入上式得：，得到0=1產(chǎn)生矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，

故曲線y=在點(diǎn)(1，)處的切線不過點(diǎn)(2，0） 4分

（2）由得

，，所以在(0，1]上單調(diào)遞減，故 7分

（3）令，當(dāng)=1時(shí)，，所以..

因此，對(duì)任意，等價(jià)于. 9分

由，.所以.

因此，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以的最大值為，故. 12分

設(shè)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增，，

故時(shí)，，即.

所以.

因此，對(duì)任意，恒成立 14分

考點(diǎn)：1.導(dǎo)函數(shù)的幾何意義.2.函數(shù)的極值.3.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用.4.通過不等式的傳遞性證明不等式.