Question

16．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}-a，x＞1}\\{{x}^{2}+\frac{1}{2}ax-2，x≤1}\end{array}\right.$是（-$\frac{3}{8}$，+∞）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{3}{2}$，2）
• B． （1，2]
• C． [$\frac{3}{2}$，2]
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)在（-$\frac{3}{8}$，+∞）上是增函數(shù)，y₁=a^x-a，x＞1必須是增函數(shù)，即a＞1，（1，+∞）單調(diào)遞增，那么y₂=${x}^{2}+\frac{1}{2}ax-2，x≤1$，其對稱軸x=$-\frac{a}{4}$，在[$-\frac{a}{4}$，1]必須是單調(diào)遞增．結(jié)合單調(diào)遞增的性質(zhì)，y₁≥y₂可得結(jié)論．

解答 解：分段函數(shù)在（-$\frac{3}{8}$，+∞）上是增函數(shù)，y₁=a^x-a，x＞1必須是增函數(shù)，即a＞1，（1，+∞）單調(diào)遞增，
那么y₂=${x}^{2}+\frac{1}{2}ax-2，x≤1$，其對稱軸x=$-\frac{a}{4}$，在[$-\frac{a}{4}$，1]必須是單調(diào)遞增．
∴$-\frac{3}{8}≥-\frac{a}{4}$，解得：$a≥\frac{3}{2}$．
在（-$\frac{3}{8}$，+∞）上是增函數(shù)，那么y₁的最小值要大于y₂的最大值，即1$+\frac{1}{2}a-2≤0$，
解得：a≤2
∴a的取值范圍是[$\frac{3}{2}$，2]．
故選：C．

點評 本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性的運用，屬于中檔題．