Question

13．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，直線y=a與雙曲線兩條漸近線的左、右交點(diǎn)分別為A，B，若四邊形ABF₂F₁的面積為5ab，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線，聯(lián)立方程求出A，B的坐標(biāo)，結(jié)合梯形的面積公式進(jìn)行求解轉(zhuǎn)化即可．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由±$\frac{a}$x=a，得x=±$\frac{{a}^{2}}$，即A（-$\frac{{a}^{2}}$，a），B（$\frac{{a}^{2}}$，a）
則AB=$\frac{2{a}^{2}}$，|F₁F₂|=2c，
則四邊形ABF₂F₁的面積為S=$\frac{（\frac{2{a}^{2}}+2c）×a}{2}$=（$\frac{{a}^{2}}$+c）a=5ab，
即$\frac{{a}^{2}}$+c=5b，即a²+bc=5b²，
則c²-b²+bc=5b²，
即c²+bc-6b²=0，
則（c-2b）（c+3b）=0，
得c=2b或c=-3b（舍），
則c²=4b²=4c²-4a²，
即3c²=4a²，
即$\sqrt{3}$c=2a，
則$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
即雙曲線的離心率e=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合梯形的面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．