Question

（本小題滿分12分）
已知橢圓C：的離心率為，且過點Q(1，）．
（1) 求橢圓C的方程；
(2) 若過點M(2，0)的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)P點在直線
上，且滿足 (O為坐標(biāo)原點），求實數(shù)t的最小值．

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用。
（1）利用已知的性質(zhì)離心率得到a,c比例關(guān)系，同時要結(jié)合過點，得到橢圓的方程。
（2）中利用由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：
與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理以及向量關(guān)系式得到k的關(guān)系式，借助于均值不等式求解最值。
解：（1）設(shè)橢圓的焦距為，因為離心率為，，
所以                                  --------------2分
設(shè)橢圓方程為又點在橢圓上，--------------3分
所以橢圓方程為                              --------------4分
（2）由已知直線AB的斜率存在，設(shè)AB的方程為：
由   得
，得：，即  -------6分
設(shè)， 
,，顯然時；當(dāng)時，
，-------8分
因為點在直線上所以
即                       -------9分
因為
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（因為）  
-------11分
綜上：                                               -------12分