Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45°，點(diǎn)E是線段PA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AB⊥PC；
（Ⅱ）若△PAB是邊長為2的等邊三角形，求直線DE與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作PO⊥AB于O，連接OC，可得PO⊥面ABCD．由△POB≌△POC，∠ABC=45°，得OC⊥AB，即得AB⊥面POC，可證得AB⊥PC．
（Ⅱ）以O(shè) 為原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系，$P（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0），C（0，1，0），A（-1，0，0）$，利用向量求解．

解答 解：（Ⅰ）作PO⊥AB于O…①，連接OC，
∵平面PAB⊥平面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，∴PO⊥面ABCD．…（2分）
∵PB=PC，∴△POB≌△POC，∴OB=OC，
又∵∠ABC=45°，∴OC⊥AB…②
又PO∩CO=O，由①②，得AB⊥面POC，又PC?面POC，∴AB⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）∵△PAB是邊長為2的等邊三角形，∴$PO=\sqrt{3}，OA=OB=OC=1$．
如圖建立空間坐標(biāo)系，$P（0，0，\sqrt{3}），B（1，0，0），C（0，1，0），A（-1，0，0）$
設(shè)面PBC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
$\overrightarrow{PB}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{PB}=x-\sqrt{3}z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=-x+y=0\end{array}\right.$，令$x=\sqrt{3}$，得$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，1）$；
$\overrightarrow{AP}=（1，0，\sqrt{3}），\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AP}=（\frac{1}{3}，0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}=（1，-1，0）$．
$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AE}=（\frac{4}{3}，-1，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，
設(shè)DE與面PBC所成角為θ，
$sinθ=|cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{DE}}\right＞|=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{DE}}}{{|\overrightarrow n||\overrightarrow{DE}|}}=\frac{{\frac{{4\sqrt{3}}}{3}-\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{\sqrt{\frac{16}{9}+1+\frac{3}{9}}×\sqrt{3+3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{7}$
∴直線DE與平面PBC所成角的正弦值$\frac{{\sqrt{3}}}{7}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了空間線線垂直的判定，向量法求線面角，屬于中檔題．