Question

20．已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=2x+x²，若存在正數(shù)a，b，使得當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的值域?yàn)?[{\frac{1}，\frac{1}{a}}]$，求a+b的值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先由奇函數(shù)的性質(zhì)，分析可得x＞0時，f（x）=2x-x²，對于正實(shí)數(shù)a、b，分三種情況討論：①、當(dāng)a＜1＜b時，②、當(dāng)a＜b＜1時，③、當(dāng)1≤a＜b時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得a、b的值，將其相加可得答案．

解答 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=（-x）²+2（-x），即-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，設(shè)這樣的正數(shù)a，b存在，
則$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{a}\\-{b^2}+2b=\frac{1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=1\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}=1\end{array}\right.$
由$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}\end{array}\right.$得ab（a-b）=0，舍去；由$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}=1\\-{b^2}+2b=\frac{1}{a}=1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1.\end{array}\right.$矛盾，舍去；
由$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+2a=\frac{1}{a}\\-{b^2}+2b=\frac{1}\end{array}\right.$得a，b是方程-x³+2x²=1的兩個實(shí)數(shù)根，
由（x-1）（x²-x-1）=0
得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}\end{array}\right.$，$a+b=1+\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}=\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，注意先由奇函數(shù)的性質(zhì)，求出x＞0時，f（x）的解析式．