Question

12．在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足  則點(diǎn)集|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\left\{{P\left|{\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}}\right.}\right\}$，|λ|+|μ|≤1（ λ、μ為實(shí)數(shù)）所表示的區(qū)域的面積是（　�。�

• A． 8
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)量積的定義，說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成腰長為2的等腰直角三角形，設(shè)出兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量基本定理，把P的坐標(biāo)用A，B的坐標(biāo)及λ，μ表示，把不等式，|λ|+|μ|≤1去絕對值后可得線性約束條件，畫出可行域可求點(diǎn)集P所表示區(qū)域的面積域的面積．

解答 解：|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
說明O，A，B三點(diǎn)構(gòu)成腰長為2的等腰直角三角形形．
設(shè)A（2，0），B（0，2）．再設(shè)P（x，y）．
由$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，得：（x，y）=（2λ，0）+
（0，2μ）=（2λ，2μ）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ}\\{y=2μ}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{2}x}\\{μ=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$，
由|λ|+|μ|≤1，
可行域如圖中矩形ABCD及其內(nèi)部區(qū)域，則區(qū)域面積$\frac{1}{2}$×4×4=8，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的基本定理及其意義，考查了二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于讀懂題意，屬中檔題．