Question

【題目】已知橢圓:的左右頂點(diǎn)分別為,,為坐標(biāo)原點(diǎn),且.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)為直線(xiàn)在第一象限內(nèi)的一點(diǎn),連接交橢圓于點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).若直線(xiàn)的斜率為1,求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何意義,求得進(jìn)而求得,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）根據(jù)直線(xiàn)的斜率為1,可設(shè)直線(xiàn)的方程,聯(lián)立橢圓方程,利用直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)可知得的范圍.由兩點(diǎn)求得斜率并表示出直線(xiàn)與直線(xiàn),結(jié)合韋達(dá)定理即可求得的值.即可得點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）根據(jù)橢圓的幾何意義,可知，

所以，故橢圓:；

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率為1，所以設(shè):,,，

與橢圓聯(lián)立，整理得，，

則,，

直線(xiàn):與直線(xiàn):交于點(diǎn)，

則，故，

點(diǎn)在第一象限則，由于點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立，解得，故.