Question

數列{a_n}的通項a_n=（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3，若此數列的各項都是正數，則λ的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：數列的函數特性

專題：計算題

分析：由題意得（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3＞0對所有的正整數都成立，分當n為偶數時、當n為奇數時，分別分離出λ后，利用數列的函數特性以及n的取值，求出式子的最大值或最小值，即得到λ的取值范圍，再求兩部分的交集．

解答： 解：由題意得，a_n=（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）+3＞0對所有的正整數都成立，
即（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3，
當n為偶數時，（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3化為：λ＞-3-

1

2n

對所有的正整數都成立，
又-3-

1

2n

＜-3對所有的正整數都成立，則λ≥-3，
當n為奇數時，（-1）ⁿ（λ+

1

2n

）＞-3化為：λ＜3-

1

2n

對所有的正整數都成立，
又3-

1

2n

≥

5

2

對所有的正整數都成立，則λ＜

5

2

，
綜上得，λ的取值范圍是[-3，

5

2

），
故答案為：[-3，

5

2

）．

點評：本題考查數列的函數特性，以及恒成立問題轉化為函數的最值問題，注意n的取值，屬于中檔題．