【題目】已知函數(shù),,其中

(1)是函數(shù)的極值點,求實數(shù)的值;

(2)若對任意的為自然對數(shù)的底數(shù))都有成立,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)(2)

【解析】

試題本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、最值等基礎(chǔ)知識及分類討論思想,也考查了學生分析問題解決問題的能力及計算能力.第一問先對函數(shù)進行求導,再把極值點代入導函數(shù)求得實數(shù)a的值;第二問對任意的x1,x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1x2∈[1,e],都有f(x)min≥g(x)max利用導數(shù)分別判斷函數(shù)f (x)、g(x)的單調(diào)性并求其在定義域范圍內(nèi)的最值,判斷單調(diào)性時可對實數(shù)a進行分類討論,則可求得實數(shù)a的取值范圍.

試題解析:(1)∵h(x)2xln x,其定義域為(0,+∞)∴h′(x)2,

∵x1是函數(shù)h(x)的極值點,∴h′(1)0,即3a20.

∵a0∴a.

經(jīng)檢驗當a時,x1是函數(shù)h(x)的極值點,∴a.

(2)對任意的x1x2∈[1,e]都有f(x1)≥g(x2)成立等價于對任意的x1x2∈[1,e],都有f(x)min≥g(x)max.

x∈[1,e]時,g′(x)10.

函數(shù)g(x)xln x[1,e]上是增函數(shù),∴g(x)maxg(e)e1.

∵f′(x)1,且x∈[1,e],a0.

0a1x∈[1e]時,f′(x)0,

函數(shù)f(x)x[1,e]上是增函數(shù),∴f(x)minf(1)1a2.

1a2≥e1,得a≥,又0a1,∴a不合題意.

1≤a≤e時,

1≤x≤a,則f′(x)0,

ax≤e,則f′(x)0.

函數(shù)f(x)x[1,a)上是減函數(shù),在(ae]上是增函數(shù).

∴f(x)minf(a)2a.

2a≥e1,得a≥. 1≤a≤e,≤a≤e.

aex∈[1,e]f′(x)0,

函數(shù)f(x)x[1,e]上是減函數(shù).∴f(x)minf(e)e.

e≥e1,得a≥,又ae,∴ae.

綜上所述,a的取值范圍為[,+∞)

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1)取出的兩個球都是白球;

2)第一次取出白球,第二取出黑球;

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①從折線圖能看出世界人口的變化情況;

2050年非洲人口將達到大約15億;

2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多;

④從1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢.

其中命題正確的有(

A.①②B.①③C.①④D.②④

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【題目】某高校調(diào)查喜歡統(tǒng)計課程是否與性別有關(guān),隨機抽取了55個學生,得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:

喜歡

不喜歡

總計

男生

20

女生

20

總計

30

55

1)完成表格的數(shù)據(jù);

2)判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜歡統(tǒng)計課程與性別有關(guān)?

參考公式:

0.025

0.01

0.005

0.001

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】已知是自然數(shù)1,2,…,的一個排列,且滿足對任意,均有

(1)若記為數(shù)在排列中所處位置的序號如排列,,).求證對每一個滿足題意的排列,均有成立.

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【題目】電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型

第一類

第二類

第三類

第四類

第五類

第六類

電影部數(shù)

140

50

300

200

800

510

好評率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

(Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;

(Ⅱ)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;

(Ⅲ)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結(jié)論)

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【題目】如圖所示,將四棱錐S-ABCD的每一個頂點染上一種顏色,并使同一條棱上的兩端異色,如果只有5種色可供使用,則不同的染色方法種數(shù)為(

A.240B.360C.420D.960

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時間(分鐘)

次數(shù)

8

14

8

8

2

以各時間段發(fā)生的頻率視為概率,假設(shè)每次路上開車花費的時間視為用車時間,范圍為分鐘.

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組數(shù)

第l組

第2組

第3組

第4組

第5組

分組

頻數(shù)

20

36

30

10

4

(1)求;

(2)從第l,3,4組中用分層抽樣的方法抽取6人,求第l,3,4組抽取的人數(shù):

(3)在(2)抽取的6人中再隨機抽取2人,求所抽取的2人來自同一個組的概率.

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