Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{-x-1，x≤0}\\{\;}\end{array}\right.$，D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z=x-3y在D上的最大值為3．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在（1，0）處的切線方程，然后根據(jù)線性規(guī)劃，平移可得z=x-3y在D上的最大值．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f'（x）=$\frac{1}{x}$，
所以在點(diǎn)（1，0）處的切線斜率k=f'（1）=1，
所以切線方程為y=x-1，
D是由x軸和曲線y=f（x）及該曲線在點(diǎn)（1，0）處的切線所圍成的
封閉區(qū)域，如右圖陰影部分．
z=x-3y可變形成y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$z，
當(dāng)直線y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$z過點(diǎn)A（0，-1）時(shí)，截距最小，此時(shí)z最大，
故最大值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用：求最值，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生解決問題的能力，屬于中檔題．