Question

13．已知函數(shù)g（x）=2alnx+x²-2x，a∈R．
（1）若函數(shù)g（x）在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設A，B是函數(shù)g（x）圖象上的不同的兩點，P（x₀，y₀）為線段AB的中點．
（i）當a=0時，g（x）在點Q（x₀，g（x₀））處的切線與直線AB是否平行？說明理由；
（ii）當a≠0時，是否存在這樣的A，B，使得g（x）在點Q（x₀，g（x₀））處的切線與直線AB平行？說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導數(shù)，由題意可得g′（x）≥0對x＞0恒成立，即為a≥x-x²對x＞0恒成立，求出右邊函數(shù)的最大值，即可得到a的范圍；
（2）（i）a=0時，求出g（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由兩點的斜率公式，化簡整理，結(jié)合中點坐標公式，即可得到結(jié)論；
（ii）當a≠0時，假設存在這樣的A，B，使得g（x）在點Q（x₀，g（x₀））處的切線與直線AB平行．由兩直線平行的條件：斜率相等，化簡整理，結(jié)合中點坐標公式，化為ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，設t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1），記函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，求出導數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），
g（x）的導數(shù)為g′（x）=$\frac{2a}{x}$+2x-2=$\frac{2（{x}^{2}-x+a）}{x}$，
若函數(shù)g（x）在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，可得g′（x）≥0對x＞0恒成立，
即為a≥x-x²對x＞0恒成立，
由h（x）=x-x²=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，當x=$\frac{1}{2}$時，h（x）取得最大值$\frac{1}{4}$，
則a≥$\frac{1}{4}$；
（2）（i）a=0時，g（x）=x²-2x，g′（x）=2x-2，
g′（x₀）=2x₀-2，
設A（x₁，g（x₁）），B（x₂，g（x₂）），（0＜x₁＜x₂），
可得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
k_AB=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{（{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}）-（{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}-2）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁+x₂-2=2x₀-2，
則g（x）在點Q（x₀，g（x₀））處的切線與直線AB平行；
（ii）當a≠0時，假設存在這樣的A，B，
使得g（x）在點Q（x₀，g（x₀））處的切線與直線AB平行．
可得g′（x₀）=$\frac{g（{x}_{1}）-g（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
即$\frac{2a}{{x}_{0}}$+2x₀-2=$\frac{（2aln{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}）-（2aln{x}_{2}+{{x}_{2}}^{2}-2{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，
由x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，可得$\frac{2a}{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$+x₁+x₂-2=$\frac{2aln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$+x₁+x₂-2，
即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，設t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$（0＜t＜1），
記函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，
則h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$≥0，
可得h（t）在（0，1）遞增，
可得當0＜t＜1時，h（t）＜h（1）=0，
即方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（0，1）上無解，
故不存在這樣的A，B，使得g（x）在點Q（x₀，g（x₀））處的切線與直線AB平行．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，以及兩直線平行的條件：斜率相等，考查化簡整理和構造函數(shù)的能力，屬于難題．