Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

6

3

，其左、右焦點分別是F₁、F₂，點P是坐標平面內的一點，且|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（點O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

（1）設P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由|OP|=

10

2

得x02+y02=

5

2

，
由

PF1

•

PF2

=

1

2

，得（-c-x₀，-y₀）•(c-x0，-y0)=

1

2

，
即x02+y02-c2=

1

2

，
所以c=

2

，又因為

c

a

=

6

3

，所以a²=3，b²=1，
橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1；
（2）由

y=x x2 3 +y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，
設直線MN的方程為y=kx+m，聯立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

，
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

，
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，∴x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

，
∴|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 4-3m2

2

，
∵λ＞0，O（0，0）到直線MN的距離為d=

3 10 m

10

，
∴S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 4-3m2

4

•

3 10 m

10

=

3 • (4-3m2)•3m2

4

≤

3

2

，
當m=

6

3

，即λ=

2

時等號成立，S_△OMN的最大值為

3

2

．