Question

9．在四邊形ABCD中，已知AB=9，BC=6，$\overrightarrow{CP}$=2$\overrightarrow{PD}$．
（1）若四邊形ABCD是平行四邊形，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=18，求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）若$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AD}$夾角的余弦值為$\frac{1}{3}$，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$∈[5，10]，用反證法證明：四邊形ABCD不可能是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）把$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AD}$看作基底，把且$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BP}$用基底表示，代入且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=18可得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，從而證得答案；
（2）假設(shè)四邊形ABCD不可能是平行四邊形，由已知結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求得$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$的范圍，與已知范圍矛盾，說明假設(shè)錯誤．

解答 證明：（1）如圖
AB=9，BC=6，$\overrightarrow{CP}$=2$\overrightarrow{PD}$，且四邊形ABCD是平行四邊形，
由$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=18，得$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}）$=$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）$=18，
即$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-\frac{2}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}=18$，
∴36-$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-18=18$，得$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$，
即AB⊥AD，
∴平行四邊形ABCD是矩形；
（2）如圖，
假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，
由AB=9，BC=6，$\overrightarrow{CP}$=2$\overrightarrow{PD}$，四邊形ABCD是平行四邊形，且cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$＞=$\frac{1}{3}$，
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=$（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP}）•（\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}）$=$（\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}）•（\overrightarrow{AD}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}）$=$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}-\frac{1}{3}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|×\frac{1}{3}-\frac{2}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=$36-\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×9×6-\frac{2}{9}×81$=12．
與已知$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$∈[5，10]矛盾，
∴假設(shè)錯誤，
故四邊形ABCD不可能是平行四邊形．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量加法與減法的幾何意義，訓(xùn)練了反證法證題的思想和步驟，屬中檔題．