Question

已知實軸長為2的等軸雙曲線S的焦點在y軸上．
（1）求雙曲線S的方程；
（2）設(shè)l₁，l₂是過點P（-

2

，0）的兩條相互垂直的直線，且l₁，l₂與雙曲線S各有兩個交點，求l₁的斜率k₁的取值范圍．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）實軸長為2的等軸雙曲線S的焦點在y軸上．a(chǎn)=1，b=1求出方程即可．
（2）顯然l₁、l₂斜率都存在，設(shè)l₁的斜率為k₁，得到l₁、l₂的方程，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，再結(jié)合根的判別即可求得斜率k₁的取值范圍；

解答： 解：（1）∵實軸長為2的等軸雙曲線S的焦點在y軸上．
∴a=1，b=1
∴方程為：y²-x²=1，
（2）（1）顯然l₁、l₂斜率都存在，否則l₁、l₂與曲線不相交．設(shè)l₁的斜率為k₁，
則l₁的方程為y=k₁（x+

2

）．
聯(lián)立得y=k₁（x+

2

），y²-x²=1，
消去y得
（k₁²-1）x²+2

2

k₁²x+2k₁²-1=0．①
根據(jù)題意得k₁²-1≠0，②
△₁＞0，即有12k₁²-4＞0．③
完全類似地有

1

k 2 1

-1≠0，④
△₂＞0，即有12•

1

k 2 1

-4＞0，⑤
從而k₁∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k₁≠±1

點評：本題綜合考察了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，運用方程組解決問題，屬于難題．