Question

已知橢圓C：4x²+y²=1及直線l：y=x+m，m∈R，求直線l被橢圓C截得的弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先將直線方程代橢圓方程，消去y，然后由韋達定理求兩根之和x₁+x₂，代入直線方程求y₁+y₂，求出中點坐標(biāo)和軌跡即可．

解答： 解：將直線方程y=x+m代入橢圓C方程4x²+y²=1，整理后得：5x²+2mx+m²-1=0，由題意，方程有兩根則△=4m²-4×5×（m²-1）＞0，解得-

5

2

＜m＜

5

2

，
設(shè)直線l與橢圓C兩交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁，x₂為方程的兩根，
由韋達定理有x₁+x₂=-

2m

5

，
則y₁+y₂=（x₁+m）+（x₂+m）=x₁+x₂+2m=

8m

5

則弦AB的中點坐標(biāo)就是（-

m

5

，

4m

5

）
令x=-

m

5

，y=

4m

5

，消去m，得到中點軌跡為：y=-4x，
由x=-

m

5

，得-

5

2

＜m＜

5

2

，可得-

5

10

＜x＜

5

10

，
綜上，直線l被橢圓C截得的弦的中點的軌跡方程為y=-4x，（-

5

10

＜x＜

5

10

）．

點評：本題考察直線與曲線相交弦問題，用到了中點坐標(biāo)公式，求動點軌跡方程問題屬于典型題目，注意總結(jié)．