Question

已知函數(shù)f(x)=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)．
（1）設(shè)θ∈[-

π

2

，  

π

2

]，且f(θ)=

3

+1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f(C)=

3

+1，且△ABC的面積為

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及輔助角公式對函數(shù)化簡可得，f（x）=2cos（x+

π

6

）+

3

，由f(θ)=

3

+1可得，cos（θ+

π

6

）=

1

2

，結(jié)合已知θ∈[-

π

2

，

π

2

]可求θ的值；
（2）由（1）知C=

π

6

由已知面積

3

2

可得，

3

2

=

1

2

absin

π

6

從而有ab=2

3

由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6可得a²+b²=再由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

可求．

解答：解：（1）f(x)=2

3

cos2

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

(1+cosx)-sinx=2cos(x+

π

6

)+

3

．（3分）
由2cos(θ+

π

6

)+

3

=

3

+1  得  cos(θ+

π

6

)=

1

2

（5分）
于是θ+

π

6

=2kπ±

π

3

（k∈Z）  因?yàn)?nbsp; θ∈[-

π

2

，

π

2

]    所以  θ=-

π

2

或

π

6

（7分）
（2）因?yàn)镃∈（0，π），由（1）知C=

π

6

．（9分）
因?yàn)椤鰽BC的面積為

3

2

，所以

3

2

=

1

2

absin

π

6

，于是ab=2

3

．①
在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B的對邊分別是a，b．
由余弦定理得1=a2+b2-2abcos

π

6

=a2+b2-6，所以a²+b²=7．②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2.

于是a+b=2+

3

．（12分）
由正弦定理得

sinA

a

=

sinB

b

=

sinC

1

=

1

2

，
所以sinA+sinB=

1

2

(a+b)=1+

3

2

．（14分）

點(diǎn)評：（1）考查了二倍角公式的變形形式cos2α=

1+cos2α

2

，sin2α=

1-cos2α

2

的應(yīng)用，輔助角公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin(α+θ)(θ為輔助角)可以把函數(shù)化為一個(gè)角的三角函數(shù)，進(jìn)而可以研究三角函數(shù)的性
（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面積公式的綜合運(yùn)用．