Question

某汽車廠有一條價值為a萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高該生產(chǎn)線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，經(jīng)過市場調(diào)查，產(chǎn)品的增加值y萬元與技術(shù)改造投入x萬元之間滿足：①y與（a-x）•x²成正比；②當(dāng)x=

a

2

時，y=a³，并且技術(shù)改造投入滿足

x

2(a-x)

∈（0，t]，其中t為常數(shù)且t∈（1，2]．
（1）求y=f（x）表達式及定義域；
（2）求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用當(dāng)x=

a

2

時，y=a³，并且技術(shù)改造投入滿足

x

2(a-x)

∈（0，t]，即可確定函數(shù)解析式與定義域；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出產(chǎn)品增加值的最大值及相應(yīng)x的值．

解答：解：（1）由題意，設(shè)y=f（x）=k（a-x）•x²
∵當(dāng)x=

a

2

時，y=a³，∴k=8，∴f（x）=8（a-x）•x²
∵

x

2(a-x)

∈（0，t]，∴x∈（0，

2at

2t+1

]；
（2）f′(x)=-24x2+16ax=-24x(x-

2

3

a)
令f^′（x）=0，∴x=

2

3

a
當(dāng)t∈（1，2]時，

2at

2t+1

≥

2

3

a，
∴x∈(0，

2

3

a)，f′（x）＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增；x∈(

2

3

a，

2at

2t+1

)，f′（x）＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴x=

2

3

a時，ymax=

32

27

a3…（10分）
綜上1≤t≤2時，投入

2

3

a萬元最大增加值

32

27

a3萬元 …（12分）

點評：本題的考點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型，主要考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，屬于中檔題．