Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處的切線方程為，求和的值；

（Ⅱ）討論方程的解的個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ， ；（2）當時，方程無解；當或時，方程有唯一解；當時，方程有兩解.

【解析】試題分析: （Ⅰ）求出導函數(shù)，利用在處的切線方程為,列出方程組求解;（Ⅱ）通過 ,判斷方程的解出函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出極小值，分析出當 時，方程無解；當或時，方程有唯一解；當時，方程有兩解.

試題解析：（Ⅰ）因為，又在處得切線方程為，

所以，解得.

（Ⅱ）當時， 在定義域內(nèi)恒大于0，此時方程無解.

當時， 在區(qū)間內(nèi)恒成立，

所以為定義域為增函數(shù)，因為，

所以方程有唯一解.

當時， .

當時， ， 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，

當時， ， 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

所以當時，取得最小值.

當時， ，無方程解；

當時， ，方程有唯一解.

當時， ，

因為，且，所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，

當時，設，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，

又，所以，即，故.

因為，所以.

所以方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解，所以方程在區(qū)間內(nèi)有兩解，

綜上所述，當時，方程無解.