Question

求函數f（x）=x²+2x+a-1在區(qū)間（-∞，

1

2

]上的零點．

Answer 1

考點：函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：先求出f（x）的最小值，通過討論a的范圍，結合二次函數的性質，從而得到函數零點的個數．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）²+a-2，對稱軸x=-1，
∴f（x）在（-∞，-1）遞減，在（-1，

1

2

]遞增，
∴f（x）_min=a-2，
當a-2＞0，即a＞2時，f（x）無零點，
當a-2=0，即a=2時，f（x）與x軸有1個交點（-1，0），
當a-2＜0，即a＜2時，令f（x）=0，解得x=-1±

2-a

，
令-1+

2-a

＞

1

2

，解得：a＜-

1

4

，
∴a＜-

1

4

時，f（x）與x軸有1個交點（-1-

2-a

，0），
-

1

4

≤a＜2時，f（x）與x軸有2個交點（-1-

2-a

，0），（-1+

2-a

，0），
綜上，a＞0時，函數f（x）無零點，
a=2時，函數f（x）有一個零點x=-1，
-

1

4

≤a＜2時，函數f（x）有2個零點x=-1±

2-a

，
a＜-

1

4

時，函數f（x）有1個零點x=-1-

2-a

．

點評：本題考查了函數的零點問題，考查了二次函數的性質，考查了分類討論思想，是一道中檔題．