Question

7．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F₂為直徑的圓交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若△F₁AB的外接圓過點(diǎn)（$\frac{4\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{5}$，0），則該雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），分別求出OF₂為直徑的圓的方程和外接圓的直徑為F₁M，
運(yùn)用兩圓方程求得交點(diǎn)A，B，代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
OF₂為直徑的圓的方程為（x-$\frac{c}{2}$）²+y²=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
由△F₁AB的外接圓過點(diǎn)M（$\frac{4\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{5}$，0），即M（$\frac{4}{5}$c，0），
即有外接圓的直徑為F₁M，
可得圓的方程為（x+$\frac{c}{10}$）²+y²=$\frac{81{c}^{2}}{100}$，
兩圓的方程相減可得x=$\frac{2}{3}$c，
代入圓的方程可得y=±$\frac{\sqrt{2}}{3}$c，
可設(shè)A（$\frac{2}{3}$c，$\frac{\sqrt{2}}{3}$c），代入雙曲線的方程可得
$\frac{4}{9}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{9}$•$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$=1，由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，
可得4e⁴-15e²+9=0，
解得e²=3或$\frac{3}{4}$（舍去），
即有e=$\sqrt{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用圓的方程的求法，以及聯(lián)立兩圓方程，求交點(diǎn)，由點(diǎn)滿足雙曲線的方程，運(yùn)用離心率公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．