Question

12．△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=$\sqrt{3}$，分別在邊AB，BC，CA上取點(diǎn)D，E，F(xiàn)，使△DEF是等邊三角形（如圖），設(shè)∠FEC=α，問當(dāng)sinα=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$時(shí)，△DEF的邊長(zhǎng)最短．

Answer 1

分析 設(shè)等邊△DEF的邊長(zhǎng)為x，顯然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，得到∠EDB=α，在三角形BDE中，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出BE，由BE+EC=BC，列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，得到三角形的邊長(zhǎng)，求出邊長(zhǎng)的最小值，以及此時(shí)sinα的值即可．

解答 解：設(shè)等邊△DEF的邊長(zhǎng)為x，顯然∠C=90°，∠B=60°，EC=x•cosα，
∵∠DEC=∠DEF+α=∠EDB+∠B，∴∠EDB=α．
在△BDE中，由正弦定理得$\frac{x}{sin60°}$=$\frac{BE}{sinα}$，∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}•x•sinα$xsinα，
∵BE+EC=BC，∴xcosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}•x•sinα$=1，
∴x=$\frac{1}{cosα+\frac{2\sqrt{3}}{3}•sinα}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•（\sqrt{\frac{3}{7}}•cosα+\frac{2}{\sqrt{7}}sinα）}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}•sin（α+θ）}$，
（其中，cosθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，sinθ=$\sqrt{\frac{3}{7}}$），
當(dāng)α+θ=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{2}$-θ時(shí)，x_min=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，此時(shí)sinα=cosθ=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
故答案為：$\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的值域，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．