Question

正數(shù)a，b滿足關(guān)系式：a⁵=a+1，b¹⁰=b+3a，則a與b的大小關(guān)系是（　　）

• A、a＞b＞1
• B、b＞a＞1
• C、a＞1，0＜b＜1
• D、0＜a＜1，b＞1

Answer 1

考點(diǎn)：不等式比較大小

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：假設(shè)a≤1，則a+1=a⁵≤1，得出a≤0與a＞0矛盾，因此a＞1．同理b＞1．假設(shè)b≥a＞1．令b=a+△，△≥0．利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)得出矛盾即可否定假設(shè)，因而得出答案．

解答：解：假設(shè)a≤1，則a+1=a⁵≤1，得出a≤0與a＞0矛盾，因此a＞1．
同理b＞1．
假設(shè)b≥a＞1．
令b=a+△，△≥0．
∵b¹⁰=b+3a，a⁵=a+1．
∴4a+△=（a+△）¹⁰，
∴4（a⁵-1）+△=a10+

C

1 10

a9△+…+

C

5 10

a5△5+…，
與4a⁵-4+△＜

C

5 10

a5△5矛盾，
因此假設(shè)不成立．
∴a＞b＞1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反證法、二項(xiàng)式定理、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．