分析 (1)將(1,f(1))代入切線方程求出a的值,求出f(x)的導數(shù),得到f′(1)=1,求出b的值,從而求出函數(shù)的解析式;
(2)構造函數(shù)g(x)=xlnx-m(x2-1),(x≥1),只需g(x)max≤0成立即可,求出函數(shù)的導數(shù),通過討論m的范圍,求出函數(shù)的最大值,從而求出m的最小值即可.
解答 解:(1)將(1,f(1))代入切線方程得:f(1)=0,
又f(1)=b,故b=0,
又f′(x)=a(lnx+1)+b,故f′(1)=1,
即a+b=1,∴a=1,
故f(x)=xlnx;
(2)原問題等價于對?x≥1,xlnx-m(x2-1)≤0恒成立,
求實數(shù)m的最小值,
構造函數(shù)g(x)=xlnx-m(x2-1),(x≥1),
只需g(x)max≤0成立即可,
g′(x)=lnx-2mx+1,
g″(x)=$\frac{1-2mx}{x}$,
0<m<$\frac{1}{2}$時,對于x∈[1,$\frac{1}{2m}$),g″(x)>0,
g′(x)在[1,$\frac{1}{2m}$)遞增,g′(x)≥g′(1)=1-2m>0,
則函數(shù)g(x)在[1,$\frac{1}{2m}$)遞增,即g(1)=0,
故0≤g(x)<g($\frac{1}{2m}$),與已知矛盾,
m≥$\frac{1}{2}$時,對于x∈(1,+∞),函數(shù)g″(x)<0恒成立,
則g′(x)在區(qū)間(1,+∞)遞減,
則g′(x)<g′(1)=1-2m≤0,
則函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,+∞)遞減,
故g(x)≤g(1)=0恒成立,
綜上,對?x≥1,f(x)≤m(x2-1)恒成立,
則實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$,+∞),
故實數(shù)m的最小值是$\frac{1}{2}$.
點評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源:2017屆安徽六安一中高三上學期月考二數(shù)學(文)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知的三個內角的對邊分別為且,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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A. | 4 | B. | 4$\sqrt{2}$-1 | C. | 2$\sqrt{2}$-2 | D. | 2 |
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