Question

14．已知數列{a_n}滿足a₁=1，點（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上．
（1）求{a_n}的通項公式
（2）求證：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據數列和函數的特征，以及數列的遞推公式即可求出數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，即可得到數列的通項公式和，
（2）利用放縮法以及等比數列的求和公式即可證明．

解答 解：（1）∵點（a_n，a_n+1）在函數y=2x+1的圖象上，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}$=2，
∵a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴數列{a_n+1}是以2為首項，以2為公比的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1；
（2）證明：由（1）知a_n=2ⁿ-1；
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}-1}$=$\frac{1}{2{a}_{n-1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{14}$+…+$\frac{1}{7•{2}^{n-3}}$
=1+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{7}$[1-（$\frac{1}{2}$）^n-2]＜1+$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{7}$=$\frac{34}{21}$＜$\frac{35}{21}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查實數值和數列的通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要熟練掌握等比數列的性質，注意放縮法在證明題中的合理運用．