Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax，（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）將a=1代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間即可．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的單調(diào)性，求出最小值即可．本題中導(dǎo)數(shù)帶著參數(shù)，故求解時(shí)要對(duì)其范圍進(jìn)行討論．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x³-3x，所以f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0得x=±1，列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）（6分）
（2）由f(x)=x3-3ax，(a＞0)，得f′(x)=3x3-3a=3(x+

a

)(x-

a

)∵x∈[0，1]
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

x	0	(0， a )	a	( a ，1)	1
f'（x）		-	0	+
f（x）	0	↗	-2a a	↗	1-3a

當(dāng)x=

a

時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為-2a

a

．（9分）
②當(dāng)a≥1時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在x∈[0，1]上是減函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為1-3a．
綜上可得：f(x)min=

-2a a ，(0＜a＜1) 1-3a．(a≥1)

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求解的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及根據(jù)參數(shù)的取值范圍及導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定最值的存在位置．列表表示函數(shù)的性質(zhì)比較直觀，解題時(shí)要善于運(yùn)用．