Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2017^x+log₂₀₁₇x，則在R上f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：x＞0時(shí)，求f′（x），并容易判斷出f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)．然后判斷有沒有x₁，x₂使得f（x₁）f（x₂）＜0：分別取x=2017^-2017，1，便可判斷f（2017^-2017）＜0，f（1）＞0，從而得到f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性便得到f（x）在（-∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，而因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，這樣便得到在R上f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．

解答： 解：x＞0時(shí)，f′（x）=2017xln2017+

1

xln2017

＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
取x=2017^-2017，則f（2017^-2017）=2017

1

2017

-2017；

1

2017

＜1，∴2017

1

2017

＜2017；
∴f（2017^-2017）＜0，又f（1）=2017＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（x）在（-∞，0）也有一個(gè)零點(diǎn)；
又f（0）=0；
∴函數(shù)f（x）在R上有3個(gè)零點(diǎn)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：考查奇函數(shù)的概念，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及判斷函數(shù)在一區(qū)間上有沒有零點(diǎn)，以及有幾個(gè)零點(diǎn)的方法，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性．