分析:(1)利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的定義即可得出;
(2)利用正方形的性質(zhì)、三角形全等、線面垂直的判定和性質(zhì)即可證明;
(3)通過結(jié)論空間直角坐標系,利用點到平面的距離公式即可得出.
解答:解:(1)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1的側(cè)棱與底面垂直,∴A
1A⊥AB,
又∵AC⊥AB,AC∩AA
1=A,
∴AB⊥平面ACC
1A
1,
∴AB⊥AM,
∴∠MAC即為二面角M-AB-C的平面角.
∵AC=1,則CM=
,∴AM=
=
.
∴
cos∠CAM==
.
(2)取AC的中點K,連接NK、A
1K.則NK∥AB.
由(1)可知:NK⊥平面ACC
1A
1.
∴NK⊥AM.
在正方形ACC
1A
1中,由△A
1AK≌△ACM,可得∠MAC=∠KA
1A,
∴
∠MAC+∠AKA1=90°,即AM⊥A
1K.
又NK∩A
1K=K,
∴AM⊥A
1PNK.
∴PN⊥AM.
(3)當λ=1時,假設線段AB上存在Q使得
VP-AQN=VP-AMN?點M到底面ANP的距離=2點Q到底面ANP的距離.下面通過建立空間直角坐標系來證明.
建立如圖所示的坐標系.
則A(0,0,0),P
(-,0,1),
N(-,,0),M
(0,1,).
=(-,0,1),
=(-,,0),
=(0,1,).
設Q(0,k,0),則-1≤k≤0,
=(0,k,0).
設平面ANP的法向量為
=(x,y,z).
則
即
,令z=1,則x=y=2,
∴
=(2,2,1).
∴
=,得
2+=|2k|,解得
k=±,不滿足條件-1≤k≤0,因此線段AB上不存在Q使得
VP-AQN=VP-AMN.
點評:熟練掌握線面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的定義、正方形的性質(zhì)、三角形全等、三棱錐的條件計算公式、點到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵.