Question

15．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2$\sqrt{2}$，PA=2，BC=4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）若E為PB的中點(diǎn)，證明：AE∥平面PCD；
（Ⅱ）求證：AB⊥PC
（Ⅲ）若F為PD的中點(diǎn)，求二面角F-AC-D的平面角的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC中的H，連結(jié)EH，證明四邊形EHDA為平行四邊形，得到AE∥DH，即可得AE∥面PDC，
（Ⅱ）取BC中的G，連結(jié)AG，證明AB⊥AC，AB⊥PA，得到AB⊥面PAC，即可得到AB⊥AC．
（Ⅲ）取AD的中的M，連結(jié)FM，則FM∥PA，由PA⊥平面ABCD，則FM⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)M，作MN⊥AC，連結(jié)FN，則二面角F-AC-D的平面角為∠FNM，在直角三角形FNM中求解，

解答 解：（Ⅰ）取PC中的H，連結(jié)EH，HD，因?yàn)镋為PB的中的，所以EH∥BC，EH=$\frac{1}{2}BC$，
由AD∥BC，且AD=$\frac{1}{2}BC$，得EH∥AD，且EH=AD，∴四邊形EHDA為平行四邊形．
∴AE∥DH，AE?面PDC，DH?面PDC，∴AE∥面PDC，


（Ⅱ）取BC中的G，連結(jié)AG，則AD∥GC，AD=GC，∴四邊形AGCD為平行四邊形∴AG⊥BC，
又AG=BG=GC=2$\sqrt{2}$，∴∠ABC=∠ACD=45°，故AB⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，且AC∩PA=A，∴AB⊥面PAC，∴AB⊥AC．


（Ⅲ）取AD的中的M，連結(jié)FM，則FM∥PA，由PA⊥平面ABCD，則FM⊥平面ABCD，
過(guò)點(diǎn)M，作MN⊥AC，連結(jié)FN，則FN⊥AC，
∴二面角F-AC-D的平面角為∠FNM，在直角三角形FNM中，$PM=\frac{1}{2}PA=1，MN=1$，
$tan∠FNM=\frac{FM}{MN}=1$，∴二面角F-AC-D的平面角的大小為$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直、幾何法求二面角，關(guān)鍵是弄清線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系，合理準(zhǔn)確添加輔助線(xiàn)，屬于中檔題．