Question

20．在三角形ABC中，AD⊥BC，AD=1，BC=4，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BE}$=$\frac{15}{2}$，則AB的長度為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BE}$，從而求出AB的長度．

解答 解：以D為原點(diǎn)，以BC，AD所在直線為x，y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

設(shè)BD=x，則CD=4-x，
D（0，0），A（0，1），B（-x，0），
C（4-x，0），E（2-$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{DC}$=（4-x，0），$\overrightarrow{BE}$=（2+$\frac{x}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{BE}$=（4-x）（2+$\frac{x}{2}$）+0×$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$，
化簡得x²=1，
∵x＞0，解得x=1，
∴B（-1，0）；
又A（0，1），
∴|AB|=$\sqrt{{1}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積應(yīng)用問題，解題時(shí)建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)解決向量問題，是基礎(chǔ)題．