已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且
PF1
•
PF2
=c2，則此橢圓離心率的取值范圍是
 
．
分析：先由橢圓的定義得：PF1+PF2=2a平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2，由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2結(jié)合題中向量條件得到：cos∠F1PF2=
c 2
2a 2-3c 2
和|PF1|•|PF2|=2a2-3c2，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式即可求得此橢圓離心率的取值范圍．
解答：解：由橢圓的定義得：
PF1+PF2=2a
平方得：|PF1|2+|PF2|2+2PF1PF2=4a2．①
又∵
PF1
•
PF2
=c2，
∴|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=c2，②
由余弦定理得：
|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2=F1F22=4c2，③
由①②③得：cos∠F1PF2=
c 2
2a 2-3c 2
≤1?
2
c≤a?e≤
2
2

|PF1|•|PF2|=2a2-3c2，又|PF1|•|PF2|≤(
|PF1|+|PF2|
2
)2=a 2
∴2a2-3c2≤a2?a2≤3c2?e≥
3
3

則此橢圓離心率的取值范圍是：[
3
3
，
2
2
]
故答案為：[
3
3
，
2
2
]．
點(diǎn)評：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和橢圓的簡單性質(zhì)．考查對基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．解答關(guān)鍵是利用三角形中的余弦定理、橢圓的定義等構(gòu)造關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)且
PF1
•
PF2
=c2，則此橢圓離心率的取值范圍是（　�。�
A、[
3
3
，1)
B、[
1
3
，
1
2
]
C、[
3
3
，
2
2
]
D、(0，
2
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1作傾斜角為θ的動直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)θ=
π
4
時，
AF1
=(2-
3
)
F1B
，且|AB|=3．
（1）求橢圓的離心率及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求△ABF2面積的最大值，并求出使面積達(dá)到最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1作傾斜角為60° 的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，ABF2的內(nèi)切圓的半徑為
2
3
7
c
（I）求橢圓的離心率；   
（II）若|AB|=8
2
，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東城區(qū)一模）已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）分別是雙曲線C1：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點(diǎn)，雙曲線C1和圓C2：x2+y2=c2的一個交點(diǎn)為P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么雙曲線C1的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0） （c＞0）是橢圓的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓M的方程是(x-
5
4
c)2+y2=
9c2
16
．
（1）若P是圓M上的任意一點(diǎn)，求證：
|PF1|
|PF2|
是定值；
（2）若橢圓經(jīng)過圓上一點(diǎn)Q，且cos∠F1QF2=
3
5
，求橢圓的離心率；
（3）在（2）的條件下，若|OQ|=
34
2
，求橢圓的方程．

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